Question

已知圆C的半径为2，圆心C在x轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切，
（1）求圆C的方程；
（2）过直线2x+y+4=0上的动点P向圆C引切线，切点分别为M、N，求

CM

•

CN

的取值范围．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）确定圆的圆心坐标，即可得到圆的方程；
（2）当CP⊥直线2x+y+4=0时，∠MCN最小，当P在直线2x+y+4=0上运动到无穷远时，∠MCN最大，无限接近π，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： 解：（1）设C（a，0）（a＞0），则
∵圆C的半径为2，直线3x-4y+4=0与圆C相切，
∴

|3a+4|

5

=2，
∵a＞0，
∴a=2，
∴圆C的方程为（x-2）²+y²=4；
（2）当CP⊥直线2x+y+4=0时，∠MCN最小，
由于C到直线的距离为

8

5

，∴cos∠MCP=

2

8 5

=

5

4

，∴cos∠MCN=2•

5

16

-1=-

3

8

，
当P在直线2x+y+4=0上运动到无穷远时，∠MCN最大，无限接近π，
∴

CM

•

CN

的取值范围是（-4，-

3

2

]．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．