Question

7£®ÔÚµÈʽcos2x=2cos²x-1£¨x¡ÊR£©µÄÁ½±ß¶ÔxÇóµ¼£¬µÃ£¨-sin2x£©•2=4cosx£¨-sinx£©£¬»¯¼òºóµÃµÈʽsin2x=2cosxsinx£®
£¨1£©ÀûÓÃÉÏÊö·½·¨£¬ÊÔÓɵÈʽ£¨1+x£©ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+¡­+C_n^n-1x^n-1+C_nⁿxⁿ£¨x¡ÊR£¬ÕýÕûÊýn¡Ý2£©£¬
¢ÙÖ¤Ã÷£ºn[£¨1+x£©^n-1-1]=$\sum_{k=2}^n$k$C_n^k$x^k-1£»
¢ÚÇóC₁₀¹+2C₁₀²+3C₁₀³+¡­+10C₁₀¹⁰£®
£¨2£©¶ÔÓÚÕýÕûÊýn¡Ý3£¬Çó $\sum_{k=1}^n$£¨-1£©^kk£¨k+1£©C_n^k£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©¢Ù¶Ô¶þÏîʽ¶¨ÀíµÄÕ¹¿ªÊ½Á½±ß¶ÔxÇóµ¼Êý£¬ÒÆÏîµÃµ½ºãµÈʽ£»
¢Ú¶Ô¢Ù£¬Áîx=1£¬n=10£¬ÓɺãµÈʽ¼ÆËã¼´¿ÉµÃµ½ËùÇóÖµ£»
£¨2£©¶Ô¢ÙÖеÄx ¸³Öµ-1£¬ÕûÀíµÃµ½ºãµÈʽ$\sum_{k=1}^{n}$£¨-1£©^kk${C}_{n}^{k}$=0£»¶Ô¶þÏîʽµÄ¶¨ÀíµÄÁ½±ß¶ÔxÇóµ¼Êý£¬ÔٶԵõ½µÄµÈʽ¶ÔxÁ½±ßÇóµ¼Êý£¬¸øx¸³Öµ-1»¯¼ò¿ÉµÃ$\sum_{k=1}^{n}$£¨-1£©^kk²${C}_{n}^{k}$=0£¬Ïà¼Ó¼´¿ÉµÃµ½ËùÇó $\sum_{k=1}^n$£¨-1£©^kk£¨k+1£©C_n^k£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¢ÙÖ¤Ã÷£ºµÈʽ£¨1+x£©ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+¡­+C_n^n-1x^n-1+C_nⁿxⁿ£¨x¡ÊR£¬ÕýÕûÊýn¡Ý2£©£¬
Á½±ß¶ÔxÇóµ¼£¬¿ÉµÃ
n£¨1+x£©^n-1=C_n¹+2${C}_{n}^{2}$x+¡­+£¨n-1£©C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1£¬
¼´ÓÐn[£¨1+x£©^n-1-1]=2${C}_{n}^{2}$x+¡­+£¨n-1£©C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1=$\sum_{k=2}^n$k$C_n^k$x^k-1£»
¢ÚÓÉ¢ÙÁîx=1¿ÉµÃ£¬n£¨2^n-1-1£©=$\sum_{k=2}^n$k$C_n^k$£¬
¿ÉµÃ£¬C₁₀¹+2C₁₀²+3C₁₀³+¡­+10C₁₀¹⁰=10+10£¨2⁹-1£©=5120£»
£¨2£©ÔÚ¢ÙʽÖУ¬Áîx=-1£¬¿ÉµÃn[£¨1-1£©^n-1-1]=$\sum_{k=2}^n$k$C_n^k$£¨-1£©^k-1£¬
ÕûÀíµÃ$\sum_{k=1}^{n}$£¨-1£©^k-1k${C}_{n}^{k}$=0£¬
ËùÒÔ$\sum_{k=1}^{n}$£¨-1£©^kk${C}_{n}^{k}$=0£»
ÓÉn£¨1+x£©^n-1=C_n¹+2C_n²x+¡­+£¨n-1£©C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1£¬n¡Ý3£¬
Á½±ß¶ÔxÇóµ¼£¬µÃn£¨n-1£©£¨1+x£©^n-2=2C_n²+3•2C_n³x+¡­+n£¨n-1£©C_nⁿx^n-2
ÔÚÉÏʽÖУ¬Áîx=-1£¬µÃ0=2C_n²+3•2C_n³£¨-1£©+¡­+n£¨n-1£©C_n²£¨-1£©^n-2
¼´$\sum_{k=2}^{n}$k£¨k-1£©${C}_{n}^{k}$£¨-1£©^k-2=0£¬
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µãÆÀ ±¾Ì⿼²éµ¼ÊýµÄ¸ÅÄîºÍÓ¦Óã¬×¢Òâ¶ÔµÈʽÁ½±ßÇóµ¼£¬¿¼²é¶þÏîʽ¶¨ÀíµÄÔËÓã¬×¢ÒâÔËÓø³Öµ·¨£¬¿¼²é»¯¼òÕûÀíµÄÔËËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÄÑÌ⣮