Question

5．设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为其前n项和，已知S₃=7，a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n+lna_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，列出关于{a_n}的首项与公差的方程组，求出首项、公差代入通项公式即得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）将${a_n}={2^{n-1}}$代入b_n，得到${b_n}={2^{n-1}}+（n-1）ln2$，利用分组法求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q（q＞1），
由已知，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}+{a_3}=7\\ \frac{{（{a_1}+3）+（{a_3}+4）}}{2}=3{a_2}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}（1+q+{q^2}）=7\\{a_1}（1-6q+{q^2}）=-7\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}={2^{n-1}}+（n-1）ln2$，
所以${T_n}=（1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}）+[0+1+2+…+（n-1）]ln2$
=$\frac{{1-{2^n}}}{1-2}+\frac{n（n-1）}{2}ln2$
=${2^n}-1+\frac{n（n-1）}{2}ln2$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．