Question

20．已知函数f（x）=|x-5|-|x-2|．
（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；
（2）求不等式x²-8x+15+f（x）≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；
（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）$f（x）=|x-5|-|x-2|=\left\{\begin{array}{l}3，\;x≤2\\ 7-2x，2＜x＜5\\-3，x≥5.\end{array}\right.$，
当2＜x＜5时，-3＜7-2x＜3，
所以-3≤f（x）≤3，
∴m≥-3；
（2）不等式x²-8x+15+f（x）≤0，
即-f（x）≥x²-8x+15由（1）可知，
当x≤2时，-f（x）≥x²-8x+15的解集为空集；
当2＜x＜5时，-f（x）≥x²-8x+15，
即x²-10x+22≤0，∴$5-\sqrt{3}≤x＜5$；
当x≥5时，-f（x）≥x²-8x+15，
即x²-8x+12≤0，∴5≤x≤6；
综上，原不等式的解集为$\left\{{x\left|{5-\sqrt{3}≤x≤6}\right.}\right\}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．