Question

15．已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）证明：f（x）≥f（0）；
（2）若?x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，求出f（x）的最小值，即可证明结论；
（2）?x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式2[|x+2|+|x-1|]≥|a+3|+|a|恒成立，可得|a+3|+|a|≤6，分类讨论求实数a的取值范围．

解答 （1）证明：f（x）=|x+2|+|x-1|，
x≤-2时，f（x）=-x-2-x+1=-2x-1≥3，
-2＜x＜1时，f（x）=x+2-x+1=3，
x≥1时，f（x）=x+2+x-1=2x+1≥3，
∴f（x）≥3=f（0）；
（2）解：?x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式2[|x+2|+|x-1|]≥|a+3|+|a|恒成立，
∴|a+3|+|a|≤6，
a≤-3时，-a-3-a≤6，∴a≥-4.5，∴-4.5≤a≤-3，
-3＜a＜0时，a+3-a≤6，成立；
a≥0时，a+3+a≤6，∴a≤1.5，∴0≤a≤1.5，
综上所述，-4.5≤a≤1.5．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查恒成立问题、最值问题，是一道中档题．