Question

5．已知复数${z_1}=\frac{3}{a+2}+（{a^2}-3）i$，z₂=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若z₁∈R，求a的值；
（2）若复数z₁-z₂在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的基本概念，虚部为0，求解即可．
（2）化简复数，求出对应点的坐标，列出不等式组求解即可．

解答 解：（1）复数${z_1}=\frac{3}{a+2}+（{a^2}-3）i$，z₁∈R，可得a²-3=0，
解得：$a=±\sqrt{3}$；
（2）由条件复数${z_1}=\frac{3}{a+2}+（{a^2}-3）i$，z₂=2+（3a+1）i
得，${z_1}-{z_2}=（\frac{3}{a+2}-2）+（{a^2}-3a-4）i$
因为z₁-z₂在复平面上对应点落在第一象限，
故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{a+2}-2＞0\\{a^2}-3a-4＞0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2＜a＜-\frac{1}{2}\\ a＞4或a＜-1\end{array}\right.$，
解得-2＜a＜-1．

点评 本题考查复数的基本概念，复数的几何意义，考查计算能力．