Question

7．已知函数f（x）=a-$\frac{b}{|x|}$（x≠0）．
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）先去绝对值，然后设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根据函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x₁）＜f（x₂），建立关系式，化简整理可求出b的取值范围；
（2）若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，可转化成a＜x+$\frac{2}{x}$在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右边的最小值即，使得a小于此最小值即可；
（3）设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0，讨论m与n同正与同负两种情形，以及讨论b的正负，根据函数的单调性建立关系式，即可求出a与b满足的条件．

解答 解：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-$\frac{b}{x}$，
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函数，
则f（x₁）＜f（x₂）（2分）
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{b{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
所以b＞0，即b∈（0，+∞）；
（2）当b=2时，f（x）=a-$\frac{2}{|x|}$＜x在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x+$\frac{2}{x}$，
因为x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，当x=$\frac{2}{x}$即x=$\sqrt{2}$时取等号，$\sqrt{2}$∈（1，+∞），
所以x+$\frac{2}{x}$在x∈（1，+∞）上的最小值为2$\sqrt{2}$，
则a＜2$\sqrt{2}$；
（3）因为f（x）=a-$\frac{b}{|x|}$的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0（11分）
①若0＜m＜n，
当b＞0时，f（x）=a-$\frac{b}{|x|}$是（0，+∞）上的增函数，
则 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，所以方程a-$\frac{b}{x}$=x在（0，+∞）上有两不等实根，
即x²-ax+b=0在（0，+∞）上有两不等实根，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4b＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=a＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=b＞0}\end{array}\right.$，即a＞0，b＞0且a²-4b＞0，
当b＜0时，f（x）=a-$\frac{b}{|x|}$=a+$\frac{-b}{x}$在（0，+∞）上递减，
则 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{b}{m}=n}\\{a-\frac{b}{n}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{mn=-b}\end{array}\right.$，
所以a=0，b＜0，
②若m＜n＜0
当b＞0时，f（x）=a-$\frac{b}{|x|}$=a+$\frac{b}{x}$是（-∞，0）上的减函数，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{b}{m}=n}\\{a+\frac{b}{n}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{mn=b}\end{array}\right.$，
所以a=0，b＞0，
当b＜0，f（x）=a-$\frac{b}{|x|}$=a+$\frac{b}{x}$是（-∞，0）上的增函数，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，所以方程a+$\frac{b}{x}$=x在（-∞，0）上有两不等实根，
即x²+ax-b=0在（-∞，0）上有两不等实根，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4b＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=a＜0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=-b＞0}\end{array}\right.$，即a＜0，b＜0且a²+4b＞0，
综上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0
且a²+4b＞0或a＞0，b＞0且a²-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a²-4|b|＞0

点评 本题主要考查了函数的单调性，以及函数恒成立和函数的值域，是一道综合题，有一定的难度．