Question

12．已知函数f（x）=2ax-$\frac{b}{x}$+4lnx在x=1与$x=\frac{1}{3}$处都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，f（x）≥c恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值，求出c的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2a+\frac{b}{x^2}+\frac{4}{x}$$f（x）=2ax-\frac{b}{x}+4lnx$，
在$x=1与x=\frac{1}{3}$处都取得极值，
$\begin{array}{l}f'（1）=0，f'（\frac{1}{3}）=0\\∴\left\{\begin{array}{l}2a+b+4=0\\ 2a+9b+12=0\end{array}\right.\end{array}$，
解得：a=-$\frac{3}{2}$，b=-1； 经检验符合题意；
（2）由（1）可知，$f（x）=-3x+\frac{1}{x}+4lnx$，
$f'（x）=-3-\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}=-\frac{（3x-1）（x-1）}{x^2}$，
由f'（x）＞0，得f（x）的单调增区间为[$\frac{1}{3}$，1]，
由f'（x）＜0，得f（x）的单调减区间为$（0，\frac{1}{3}]和[1，+∞）$，
∴x=1是f（x）的极大值点   当$x∈[\frac{1}{e}，e]$时，$f（\frac{1}{e}）$=e-$\frac{3}{e}$-5，f（e）=-3e+$\frac{1}{e}$+4，
而$f（\frac{1}{e}）$-f（e）=4e-9-$\frac{4}{e}$＞0，所以$f（\frac{1}{e}）$＞f（e），
即f（x）在$x∈[\frac{1}{e}，e]$上的最小值为$\frac{1}{e}$+4-3e，
要使对$x∈[\frac{1}{e}，e]$时，f（x）≥c恒成立，
故$c≤f{（x）_{min}}=\frac{1}{e}+4-3e$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．