Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）图象的相邻的两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$
（1）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA•sinB+sinB•sinC+cos2B=1且f（C）=0，C∈（$\frac{π}{2}$，π），求三边长之比a：b：c．

Answer 1

分析 （1）求出x的系数，根据x的范围，得到2x-$\frac{π}{3}$的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可；
（2）求出C的值，根据余弦定理求出a，b的关系，从而求出a，b，c的比值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）图象的相邻的两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得：ω=2，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
故x=0时，f（x）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）_max=1，
故所求值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
（2）∵sinA•sinB+sinB•sinC+cos2B=1，
∴sinB（sinA+sinC）=2sin²B，
由sinB≠0，sinA+sinC=sinB，得：a+c=2b，
∵f（c）=0，∴sin（2c-$\frac{π}{3}$）=0，又0＜C＜π，即-$\frac{π}{3}$＜2C-$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{6}$或C=$\frac{2π}{3}$，∵C∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴C=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理得：
cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-（2b-a）}^{2}}{2ab}$=$\frac{4a-3b}{2a}$，
当C=$\frac{2π}{3}$时，$\frac{4a-3b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，
∴5a=3b，此时：a：b：c=3：5：7，
故所求三边之比是：3：5：7．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查三角函数问题，是一道中档题．