Question

1．为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=$\frac{4}{3}$百米．
（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；
（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．

Answer 1

分析 （1）设M（x，x+$\frac{1}{x}$），利用距离公式得出|OM|²关于x的函数，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）当直线PQ与湖边界相切时，通道最短，设出切线方程，与边界函数联立，令△=0即可得出切线方程，从而确定Q点的位置．

解答 解：（1）设M（x，x+$\frac{1}{x}$），则|OM|²=x²+（x+$\frac{1}{x}$）²=2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2≥2$\sqrt{2}$+2，
当且仅当2x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$即x²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴|OM|的最短距离为$\sqrt{2\sqrt{2}+2}$．
（2）过P作函数y=x+$\frac{1}{x}$的切线l，设切线l的方程为y=k（x-$\frac{4}{3}$）（k＜0），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{4}{3}）}\\{y=x+\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，得（1-k）x²+$\frac{4k}{3}$x+1=0，
令△=$\frac{16}{9}$k²-4（1-k）=0得k=-3或k=$\frac{3}{4}$（舍），
∴直线l的方程为y=-3（x-$\frac{4}{3}$），
令y=5得x=-$\frac{1}{3}$，
∴DQ=6-$\frac{1}{3}$=$\frac{17}{3}$．
∴当|DQ|=$\frac{17}{3}$时，通道PQ最短．

点评 本题考查了函数模型的实际应用，函数最值与基本不等式，属于中档题．