Question

【题目】如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段中点，.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)线段上是否存在点N，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）线段BD上存在点N,使得直线平面AFN，且，详见解析.

【解析】

（1）根据面面垂直的性质定理证得平面，由此证得.（2）取中点，中点，连接，证得两两垂直.分别以为轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.（3）通过向量共线设出点坐标，求得的坐标，根据列方程，解方程求得的值，由此证得存在点符合题意.

(1)证明：因为为正方形，

所以．

又因为平面平面，

且平面平面，

所以平面．

所以．

(2)取AD中点O,EF中点K，连接OB，OK.于是在△ABD中，，在正方ADEF中，又平面平面，故平面，进而，

即两两垂直．

分别以为x轴，y轴,z轴

建立空间直角坐标系（如图）．

于是，，,,,

所以

设平面的一个法向量为，

则 即

令，则，则．

设直线与平面所成角为，

(3) 要使直线平面，只需，

设,则,

,

，所以,

又 ，由得

解得

所以线段BD上存在点N,使得直线平面AFN，且．