Question

10．椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{y{\;}^2}}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|＞2b点P（0，2）关于直线y=-x的对称点在椭圆Γ上，椭圆r的上、下顶点分别为A，B，△AF₁F₂的面积为$\sqrt{3}$，
（I）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）如图，过点P的直线l椭圆Γ相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．
（i）求$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$的取值范围；
（ii）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （I）求得直线y=-x的对称点，代入椭圆方程，则a=2，由bc=$\sqrt{3}$，b²+c²=4，由c＞b，即可求得b的值，求得椭圆的方程；
（Ⅱ）（i）分类，当直线l的斜率不存在时，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=-1，当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$的取值范围；
（ii）由题意得，直线AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，直线BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，联立方程组，消去x得y，再利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（I）点P（0，2）关于直线y=-x的对称点（-2，0）在椭圆Γ上，则a=2，
则△AF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$×2c×b=$\sqrt{3}$，即bc=$\sqrt{3}$，①
a²=b²+c²=4，②
解得：b=$\sqrt{3}$，c=1或b=1，c=$\sqrt{3}$，
由|F₁F₂|＞2b，即c＞b，
则b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，-1），
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=-1；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
由△＞0，可得4k²＞3，且x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）×$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+2k×（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+4=-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$，
∴-1＜$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$＜$\frac{13}{4}$，
综上$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$∈[-1，$\frac{13}{4}$）；
②由题意得，直线AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，直线BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，
联立方程组，消去x得y=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+3{x}_{2}}{3{x}_{2}-{x}_{1}}$，又4kx₁x₂=-3（x₁+x₂），
解得y=$\frac{1}{2}$，
故点Q的纵坐标为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．