Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是2与S_n的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b}_{n}=\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得2a_n=2+S_n，得到2a_n-1=2+S_n-1（n≥2），两式作差可得数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入${b}_{n}=\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，再由错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n是2与S_n的等差中项，
∴2a_n=2+S_n，
∴2a_n-1=2+S_n-1（n≥2），
两式作差得：2a_n-2a_n-1=a_n，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$（n≥2）．
又2a₁=2+a₁，∴a₁=2．
则数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）${b}_{n}=\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
两式作差得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$．
∴${T}_{n}=3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．