Question

定义在R上的可导函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时，取得极小值，若（1-t）a+b+t-3＞0恒成立，则实数t的取值范围为（　　）

• A、（2，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、（-∞，

  5

  4

  ）
• D、（-∞，

  5

  4

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,简单线性规划的应用

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答： 解∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

b＞0 a+2b+1＜0 a+2b+2＞0

，在aOb坐标系中画出其表示的区域（不包括边界），如图：
若（1-t）a+b+t-3＞0恒成立，可知a+b-3＞t（a-1）恒成立，由可行域可知a＜0，
可得t＞

a+b-3

a-1

=1+

b-2

a-1

它的几何意义是表示点P（1，2）与可行域内的点A连线的斜率加1，
当A（x，y）位于M（-1，0）时，

b-2

a-1

最小，最小值为1；
则最小值为1+1=2，
∴

a+b-3

a-1

的取值范围[2，+∞），
故选：B．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．