Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上任一点，且

PF1

•

PF2

最小值的取值范围是[-

3

4

c2，-

1

2

c2]，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A、(1，

  2

  ]
• B、[

  2

  ，2]
• C、(1，

  2

  ]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（m，n），代入双曲线方程，又设F₁（-c，0），F₂（c，0），由向量的坐标运算和数量积的坐标表示，化简整理结合双曲线方程和性质，可得

PF1

•

PF2

最小值为a²-c²．再由条件结合离心率公式，解不等式，即可得到离心率范围．

解答： 解：设P（m，n），则

m2

a2

-

n2

b2

=1，
即有m²=a²（1+

n2

b2

），
又设F₁（-c，0），F₂（c，0），
即有

PF1

=（-n，-m-c），

PF2

=（-n，c-m），
则

PF1

•

PF2

=n²+m²-c²=n²+a²（1+

n2

b2

）-c²
=n²（1+

a2

b2

）+a²-c²≥a²-c²．（当n=0时取得等号）．
则有

PF1

•

PF2

最小值为a²-c²．
由题意可得-

3

4

c²≤a²-c²≤-

1

2

c²，
即有

1

4

c²≤a²≤

1

2

c²，
即

1

2

c≤a≤

2

2

c，
则有

2

≤e≤2．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理能力，属于中档题．