Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，若f（x-1）≤0，则x的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系先求出f（x）≤0解，即可得到结论．

解答： 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，且f（-2）=f（2）=0，
作出函数f（x）的草图如图：在
则f（x）≤0的解为x≥2或-2≤x＜0，
由x-1≥2或-2≤x-1＜0，
得x≥3或-1≤x＜1，
故不等式f（x-1）≤0的解集是[-1，1）∪[3，+∞），
故答案为：[-1，1）∪[3，+∞）

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．