Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点，若OQ=4，OP=

5

，PQ=

13

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈（-1，2）时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件利用余弦定理求得cos∠POQ的值，可得点P的坐标由此求得A的值，再根据点Q的坐标，由周期求得ω，再根据五点法作图求得φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin

π

6

x，利用三角恒等变换求得h（x）=1+2sin（

π

3

x-

π

6

），再利用正弦函数的定义域和值域，求得h（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由函数y=f（x）的图象，OQ=4，OP=

5

，PQ=

13

，利用余弦定理可得cos∠POQ=

OP2+OQ2-PQ2

2OP•OQ

=

5

5

，
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

2 5

5

，故点P（1，2），点Q（4，0），故有A=

8 5

5

．
再根据

1

4

•

2π

ω

=4-1=3，∴ω=

π

6

．
由五点法作图可得

π

6

•1+φ=

π

2

，求得φ=

π

3

，故函数的解析式为f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）=2sin[

π

6

（x-2）+

π

3

]=2sin

π

6

x的图象，
可得h（x）=f（x）•g（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）•2sin

π

6

x=4（sin

π

6

xcos

π

3

+cos

π

6

xsin

π

3

）sin

π

6

x=2sin2

π

6

x+2

3

sin

π

6

x•cos

π

6

x
=1-cos

π

3

x+

3

sin

π

3

x=1+2sin（

π

3

x-

π

6

）．
当x∈（-1，2）时，

π

3

x-

π

6

∈（-

π

2

，

π

2

），sin（

π

3

x-

π

6

）∈（-1，1），y∈（-1，3）．

点评：本题主要考查余弦定理、由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．