Question

某人有n元钱，他每天买一次物品，每次买物品的品种很单调，或者买一元钱的甲物品，或者买两元钱的乙物品，或者买两元钱的丙物品，问他花完这n元钱有多少种不同的方式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据条件建立递推关系，利用数列的递推公式进行求解即可得到结论．

解答： 解：设a_n表示花完这n元钱的方案种数，
若n=1，则只能买甲，有一种方法，故a₁=1，
若n=2，则可以买2个甲，或者1个乙或1个丙，即a₂=3，
当n≥3时，花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成，
即a_n=a_n-1+a_n-2+a_n-2=a_n-1+2a_n-2
则当n≥3时，a_n+a_n-1=2（a_n-1+a_n-2），
即{a_n+1+a_n}是公比q=2的等比数列，首项为a₂+a₁=1+3=4，
则a_n+1+a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+a_n-1=2ⁿ，
两式相减得a_n+1-a_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，（n≥2），
若n是奇数，a_n=2^n-1+2^n-3+…+2²+a₁=

1

3

（2ⁿ⁺¹-1）
若n是偶数，a_n=2^n-1+2^n-3+…+2³+a₂=

1

3

（2ⁿ⁺¹+1）．

点评：本题主要考查数列的递推关系的应用，根据条件建立递推关系是解决本题的关键．难度较大．