Question

已知向量

OP

=（2sinα，2cosα），

OQ

=（-cosβ，sinβ），其中O为坐标原点，若|

PQ

|≥

t2-2t-2

|

OQ

|对任意实数α、β都成立，则实数t的取值范围为（　　）

• A、[-1，3]
• B、[-1，1-

  3

  ]∪[1+

  3

  ，3]
• C、[1-

  3

  ，1+

  3

  ]
• D、[1-

  3

  ，3]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：先由题意求出|

PQ

|=

(-cosβ-2sinα)2+(sinβ-2cosα)2

，得出只须|

PQ

|_min≥

t2-2t-2

，即1≥

t2-2t-2

，解不等式求出即可．

解答： 解：

PQ

=

OQ

-

OP

=（-cosβ-2sinα，sinβ-2cosα），
∴|

PQ

|=

(-cosβ-2sinα)2+(sinβ-2cosα)2

=

5+4sin(α-β)

∈[1，3]，|

OQ

|=1，
又|

PQ

|≥

t2-2t-2

|

OQ

|对任意实数α、β都成立，
∴只须|

PQ

|_min≥

t2-2t-2

，
即1≥

t2-2t-2

，∴0≤t²-2t-2≤1．
解得：-1≤t≤1-

3

，或1+

3

≤t≤3，
故选：B．

点评：本题考查了平面向量的数量积的运算，不等式的解法，是一道综合题．