Question

设A表示一点，l，m表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m是平面α的一条斜线，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m，l⊥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中真命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①，l⊥α，m⊥l，不妨令m?α，利用面面垂直的判定定理可判断其正误；
②，由线面垂直的性质可判断②的正误；
③，可分点A在平面α内，l?α，与点A在平面α外，分析判断即可；
④，可举例说明，如教室的墙角，不妨设α为东墙面，β为北墙面，γ为地面，满足已知，从而可知④的正误．

解答： 解：①，∵l⊥α，m⊥l，不妨令m?α（即使m?α，可让平行于m的直线m₀?α），
∵m⊥β（则m₀⊥α），
∴由面面垂直的判定定理得：α⊥β，故①正确；
②，∵m⊥α，m⊥β，
由线面垂直的性质可知α∥β，故②正确；
③，m是平面α的一条斜线，l为过A的一条动直线，
若点A在平面α内，l?α，由三垂线定理知，可能有l⊥m，但l不可能与平面α垂直；
若点A在平面α外，可能有l⊥α，但不可能有l⊥m（否则会导出m?α，与m是平面α的一条斜线矛盾），故③错误；
④，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，β为北墙面，γ为地面，满足α⊥γ，β⊥γ，但α与β相交，故④错误；
故真命题的序号是①②，
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间线面与面面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．