Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜

1

2

，则不等式f（lg²x）＜

lg2x

2

+

1

2

的解集为（　　）

• A、（0，

  1

  10

  ）
• B、（0，

  1

  10

  ）∪（10．+∞）
• C、（

  1

  10

  ，10）
• D、（10，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：令lg²x=t，（t＞0），则f(t)＜

t

2

+

1

2

，令F(t)=f(t)-

t

2

-

1

2

，则F′(t)=f′(t)-

1

2

＜0，由此利用导数性质能求出不等式f(lg2x)＜

lg2x

2

+

1

2

的解集．

解答： 解：令lg²x=t，（t＞0），
则不等式f(lg2x)＜

lg2x

2

+

1

2

即为不等式f(t)＜

t

2

+

1

2

，
令F(t)=f(t)-

t

2

-

1

2

，则F′(t)=f′(t)-

1

2

＜0，
所以F（t）=f（t）-

t

2

-

1

2

在（0，+∞）内单调递减，
又F(1)=f(1)-

1

2

-

1

2

=0，
所以f(t)＜

t

2

+

1

2

的解集为（1，+∞），
由lg2x＞1，得0＜x＜

1

10

或x＞10，
所以不等式f(lg2x)＜

lg2x

2

+

1

2

的解集为(0，

1

10

)∪(10，+∞)．
故选：B．

点评：本题考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．