Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知点P的极坐标（2，

π

2

），曲线C的极坐标方程：ρ=-4cosθ，过点P的直线l交曲线C于M、N两点．
（Ⅰ）若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，求直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求|PM|+|PN|的最大值及相应的α值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据直线l的倾斜角为α，且过点P（0，2），可得直线l的参数方程．曲线C的极坐标方程即ρ²=-4ρcosθ，从而化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程化简利用韦达定理可得t₁+t₂=4（cosα+sinα），t₁•t₂=4，|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4

2

|sin（α+

π

4

）|．再根据α∈[0，π），求得|PM|+|PN|的最大值及相应的α值．

解答： 解：（Ⅰ）若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，把点P的极坐标（2，

π

2

）化为直角坐标为（0，2），
故直线l的参数方程为

x=0+tcosα y=2+tsinα

 （t为参数）．
曲线C的极坐标方程：ρ=-4cosθ，即 ρ²=-4ρcosθ，化为直角坐标方程为 （x+2）²+y²=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲线C表示以C（-2，0）为圆心、半径等于2的圆．
把直线l的参数方程代入曲线C的方程化简可得 t²+4（cosα+sinα）t+4=0，∴t₁+t₂=4（cosα+sinα），t₁•t₂=4．
|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4

2

|sin（α+

π

4

）|．
再根据α∈[0，π），可得当α=

π

4

时，|PM|+|PN|的最大值为4

2

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题．