Question

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）=3e^x+a（a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最大的整数m（m＞1），使得存在实数t，对任意的x∈[1，m]，都有f（x+t）≤3ex成立．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由y=e^x是增函数，得知f（x）也是（0，+∞）上增函数，再由f（x）为偶函数，则f（x）在（-∞，0）上是减函数，从而当x=0时有最小值求得a值，然后利用偶函数求对称区间上的解析式即可．
（2）先假设当x∈[1，m]时，存在t∈R，有f（x+t）≤3ex，则有f（1+t）≤3e，下面要选择解析式，所以要分1+t≥0时和1+t≤0时两种情况得t的范围，同样地，有f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em转化为e^t≤

em

em

由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解，只要求得e^t在[-2，0]上的最小值可即可．

解答： 解：（1）∵y=e^x是增函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，又f（x）为偶函数，
∴f（x）_min=f（0）=3+a，∴3+a=3．∴a=0
当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=f（-x）=3e^-x
综上，f（x）=

3ex，x≥0 3e-x，x＜0

，
（2）∵当x∈[1，m]时，都有f（x+t）≤3ex，
∴f（1+t）≤3e
当1+t≥0时，有：3e^1+t≤3e，即e^1+t≤e，得到1+t≤1，
∴-1≤t≤0；
当1+t≤0时，同理，-2≤t≤-1，
∴-2≤t≤0
同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em
∴e^t≤

em

em

，
由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵e^t在[-2，0]上的最小值为e^-2，
∴e^-2≤

em

em

，即e^m-e³m≤0①
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞）．
则g'（x）=e^x-e³由g'（x）=0得x=3
当2≤x＜3时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x＞3时，g'（x）＞0，g（x）是增函数
∴g（x）的最小值是g（3）=e³-3e³=-2e³＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5）．
当2≤x≤m₀时，g（x）≤0，当x＞m₀时，g（x）＞0
∴在x∈[2，+∞）时满足不等式①的最大实数解为m₀
当t=-2，x∈[1，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e（e^|x-2|-1-x），
在x∈[1，2）时，
∵e^|x-2|-1=e^1-x≤1
∴f（x-2）-3ex≤0，
在x∈[2，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e（ex-3-x）=

3

e2

g（x）≤0
综上所述，m最大整数为4．

点评：本题主要考查利用奇偶性来求对称区间上的解析式和应用单调性来解决恒成立问题．这类问题综合性较强，涉及的知识和方法较多，思路比较繁杂，解题时必须严格按照逻辑步骤，层层解决．