Question

函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵对于任意x₁，x₂∈D，

有f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，

∴令x₁＝x₂＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)令x₁＝x₂＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x₁＝－1，x₂＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函数，

∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．

又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．