Question

已知抛物线的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q，且.
（Ⅰ）求点T的横坐标；
（Ⅱ）若椭圆C以F₁,F₂为焦点，且F₁,F₂及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1.
① 求椭圆C的标准方程；
② 过点F₂作直线l与椭圆C交于A,B两点，设，若的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ） ；
（Ⅱ）（ⅰ；（ⅱ）.

解析试题分析：（Ⅰ）由题意得，，设，
则，.
由，
得即，①                       3分
又在抛物线上，则，②
联立①、②易得                                      5分
（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，
设椭圆的标准方程为，
由，解得                                    6分
从而                                   
故椭圆的标准方程为                             7分
（ⅱ）方法一：
容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为
将直线的方程代入中得：.      8分
设，则由根与系数的关系，
可得：      ⑤
        ⑥                              9分
因为，所以，且.
将⑤式平方除以⑥式，得：

由
所以                             11分
因为，所以，
又，所以，
故
，
令，因为 所以，即，
所以.
而，所以. 
所以.                    14分
方法二：
1）当直线的斜率不存在时，即