Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c在x=2处取得极值为c-16．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0，f（2）=c-16，即可求得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的极大值，由极大值为28，可求出c值，然后求出f（-3），f（3），及函数在区间[-3，3]上的极值，即可求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函数在点x=2处取得极值c-16
∴

12a+b=0 8a+2b+c=c-16

，
解得a=1，b=-12
（II）由（I）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）=0，解得x₁=-2，x₂=2
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上为增函数；当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；
由此可知f（x）在x₁=-2处取得极大值f（-2）=16+c，f（x）在x₂=2处取得极小值f（2）=c-16，
由题设条件知16+c=28得，c=12
此时f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4
因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4，最大值为28．

点评：本题主要考查函数的导数与函数的极值、最值之间的关系，属于导数应用问题．