Question

19．已知三角形△ABC中，∠ACB=60°，CH为AB边上的高，H为垂足；设BC=a，CA=b，AB=c，CH=h；
（1）若c=$\sqrt{3}$，求a+b的取值范围；
（2）若已知h=$\sqrt{3}$，试解决下面两个问题：
①求a，b满足的等式；
②求三角形ABC的周长l的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意和余弦定理列出式子，由完全平方和公式和基本不等式求出a+b的范围，结合三角形三边的关系可a+b的取值范围；
（2）①由题意和余弦定理列出式子求出c，由三角形的两个公式列出方程后将c代入化简即可；
②由①和不等式求出ab的范围，利用①表示出得ABC的周长l，由基本不等式求出l的范围，即可求出三角形ABC的周长l的最小值．

解答 解（1）∵△ABC中，∠ACB=60°，c=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
则a²+b²-ab=3…（2分）
∴（a+b）²-3=3ab$≤3（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
解得a+b≤$2\sqrt{3}$ …（5分）
∵a+b＞c，∴$\sqrt{3}＜a+b≤2\sqrt{3}$…（6分）
（2）①在△ABC中，∠ACB=60°，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，则c²=a²+b²-ab，
即c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-ab}$，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}ch$，
∴$\frac{1}{2}ab•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}•\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-ab}•\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}ab=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-ab}$…（10分）
②由①可知$\frac{1}{2}ab=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-ab}$，
则$ab+\frac{1}{4}{a}^{2}{b}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$≥2ab，当且仅当“a=b”时候取等号；
解得ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号；…（12分）
∴三角形ABC的周长l=a+b+c=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-ab}$
=a+b+$\frac{1}{2}$ab≥$2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}ab≥2\sqrt{4}+\frac{1}{2}•4$=6，
当且仅当“a=b=2”取等号，
∴当a=b=2时，l取得最小值为6．…（16分）

点评 本题考查余弦定理，三角形面积公式的灵活应用，以及基本不等式求最值问题，考查化简、变形能力，属于中档题．