Question

3．已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导数f'（x）满足xf'（x）＞2f'（x），若2＜a＜4，则（　　）

• A． $f（{2^x}）＜f（\frac{lna}{a}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]$
• B． $f（\frac{lna}{a}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]＜f（{2^x}）$
• C． $f（\frac{lna}{a}）＜f（{2^x}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]$
• D． $f（{2^x}）＜f[{（\frac{lna}{a}）^2}]＜f（\frac{lna}{a}）$

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（-∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．

解答 解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）关于直线x=2对称；
又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减；
∵2＜a＜4，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（2，4），则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：x＜e，
故g（x）在（2，e）递减，在（e，4）递增，
故g（x）的最大值是g（2）=g（4）=$\frac{ln2}{2}$，最小值是g（e）=$\frac{1}{e}$；
令h（x）=${（\frac{lnx}{x}）}^{2}$，则h′（x）=$\frac{2lnx（1-lnx）}{{x}^{3}}$，
故h（x）在（2，e）递增，在（e，4）递减，
故h（x）的最小值是h（2）=h（4）=${（\frac{ln2}{2}）}^{2}$，h（x）的最大值是h（e）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故2＞$\frac{ln2}{2}$＞$\frac{lna}{a}$＞${（\frac{lna}{a}）}^{2}$＞${（\frac{ln2}{2}）}^{2}$，
∴f（$\frac{lna}{a}$）＜f${（\frac{lna}{a}）}^{2}$，
而2^x＞4，故f（2^x）＞f（0），
∴f（$\frac{lna}{a}$）＜f${（\frac{lna}{a}）}^{2}$＜f（2^x），
故选：B．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（-∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．