Question

15．已知函数$f（x）=|{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}|$的定义域为[a，b]，值域为[0，t]
（1）用含有t的表达式表示b-a的最大值M（t），最小值N（t）；
（2）若设g（t）=M（t）-N（t），当1≤t≤2时，求h（t）=g（t）[g（t）+k]的最小值h（k）．

Answer 1

分析 （1）由题意利用对数性质、运算法则能求出M（t），N（t）．
（2）求得g（t）•[g（t）+k]=（3^t-1）（3^t-1+k），由此能求出h（t）=g（t）[g（t）+k]的最小值h（k）．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=|{{{log}_{\frac{1}{3}}}x}|$的定义域为[a，b]，值域为[0，t]，
∴由题意，b-a的最大值M（t）=3^t-3^-t，
最小值N（t）=1-3^-t．
（2）∵g（t）=M（t）-N（t），
∴g（t）=（3^t-3^-t）-（1-3^-t）=3^t-1，
g（t）•[g（t）+k]=（3^t-1）（3^t-1+k），
∵1≤t≤2，∴3≤3^t≤9，
∴4+2k≤（3^t-1）（3^t-1+k）≤64+8k，
∴h（t）=g（t）[g（t）+k]的最小值h（k）=4+2k．

点评 本题考查函数的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．