Question

20．已知函数f（x）=-lnx+x²-x+m（m∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的零点的个数；
（Ⅱ）当m=0时，令函数g（x）=f（x）+$\frac{a-2}{2}{x^2}$+x，a∈R，求函数y=g（x）在x∈[1，e]上的值域，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数求出原函数的最小值为m，且当x→0+时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞．可对m分类讨论得到函数y=f（x）的零点个数；
（Ⅱ）当m=0时，$g（x）=f（x）+\frac{a-2}{2}{x^2}+x=-lnx+\frac{a}{2}{x^2}$，求出导函数，可得当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在x∈[1，e]上单调递减，由单调性求得值域；当a＞0时，$g'（x）=\frac{{a{x^2}-1}}{x}=\frac{{a（x-\sqrt{\frac{1}{a}}）（x+\sqrt{\frac{1}{a}}）}}{x}$，然后对a分类讨论求得函数值域．

解答 解：（Ⅰ）由已知x＞0，$f'（x）=-\frac{1}{x}+2x-1=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$．
令f'（x）=0，解得x=1或$x=-\frac{1}{2}$（舍去）．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，则y=f（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，则y=f（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴x=1是y=f（x）的极小值点，y=f（x）的最小值为f（1）=m．
∵当x→0+时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞．
∴当m＞0时，则函数y=f（x）没有零点．
当m=0时，则函数y=f（x）有一个零点．
当m＜0时，则函数y=f（x）有两个零点；
（Ⅱ）当m=0时，$g（x）=f（x）+\frac{a-2}{2}{x^2}+x=-lnx+\frac{a}{2}{x^2}$，
则$g'（x）=-\frac{1}{x}+ax=\frac{{a{x^2}-1}}{x}$．
①当a≤0时，g'（x）＜0，则g（x）在x∈[1，e]上单调递减，
$g{（x）_{max}}=g（1）=\frac{a}{2}$，$g{（x）_{min}}=g（e）=\frac{e^2}{2}a-1$，
∴g（x）的值域为$[\frac{e^2}{2}a-1，\frac{a}{2}]$；
②当a＞0时，$g'（x）=\frac{{a{x^2}-1}}{x}=\frac{{a（x-\sqrt{\frac{1}{a}}）（x+\sqrt{\frac{1}{a}}）}}{x}$，
（ⅰ）当$\sqrt{\frac{1}{a}}≤1$，即a≥1时，g'（x）≥0，g（x）在x∈[1，e]上单调递增，
∴g（x）的值域为$[\frac{a}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$；
（ⅱ）当$1＜\sqrt{\frac{1}{a}}＜e$，即$\frac{1}{e^2}＜a＜1$时，若$x∈[1，\sqrt{\frac{1}{a}}）$，g'（x）＜0，若$x∈（\sqrt{\frac{1}{a}}，e]$，g'（x）＞0，
∴g（x）在$x∈[1，\sqrt{\frac{1}{a}}）$上单调递减，在$x∈（\sqrt{\frac{1}{a}}，e]$上单调递增．
∴g（x）的最小值为$g（\sqrt{\frac{1}{a}}）=\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}$；g（x）的最大值为g（1）与g（e）中最大的一个．
∵$g（e）-g（1）=\frac{e^2}{2}a-1-\frac{a}{2}=\frac{{{e^2}-1}}{2}a-1=\frac{{{e^2}-1}}{2}（a-\frac{2}{{{e^2}-1}}）$，
由$\frac{2}{{{e^2}-1}}＜1$，$\frac{2}{{{e^2}-1}}-\frac{1}{e^2}=\frac{{{e^2}+1}}{{（{e^2}-1）{e^2}}}＞0$，知$\frac{2}{{{e^2}-1}}＞\frac{1}{e^2}$，
∴当$a=\frac{2}{{{e^2}-1}}$时，g（x）的值域为$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{a}{2}]$；
当$\frac{2}{{{e^2}-1}}＜a＜1$时，g（x）的值域为$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$；
当$\frac{1}{e^2}＜a＜\frac{2}{{{e^2}-1}}$时，g（x）的值域为$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{a}{2}]$；
（ⅲ）当$\sqrt{\frac{1}{a}}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e^2}$时，g'（x）≤0，g（x）在x∈[1，e]上单调递减，
∴g（x）的值域为$[\frac{e^2}{2}a-1，\frac{a}{2}]$．
综上所述，当$a≤\frac{1}{e^2}$时，函数g（x）的值域为$[\frac{e^2}{2}a-1，\frac{a}{2}]$；
当$\frac{1}{e^2}＜a≤\frac{2}{{{e^2}-1}}$时，函数g（x）的值域为$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{a}{2}]$；
当$\frac{2}{{{e^2}-1}}＜a＜1$时，函数g（x）的值域为$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$；
当a≥1时，函数g（x）的值域为$[\frac{a}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．