Question

已知向量

a

=（tanx+2，1）；

b

=（1，tanx+2）；当x∈[-

π

3

，

π

4

]时，求向量

a

与

b

夹角θ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：运用向量的夹角公式，平面向量的数量积的坐标表示和模的公式，化简整理，再由正切函数的单调性，求得tanx+2的范围，再由对勾函数及余弦函数的单调性，即可得到所求范围．

解答： 解：由于向量

a

=（tanx+2，1）；

b

=（1，tanx+2），
则cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

2tanx+4

1+(tanx+2)2 • 1+(tanx+2)2

=

2(tanx+2)

1+(tanx+2)2

=

2

(tanx+2)+ 1 tanx+2

，
由于x∈[-

π

3

，

π

4

]，则tanx∈[-

3

，1]，即有tanx+2∈[2-

3

，3]．
令t=tanx+2，则t+

1

t

在[2-

3

，1]递减，在[1，3]上递增，
则t=1时，t+

1

t

取得最小且为2，t=2-

3

时，t+

1

t

取得最大且为4．
则

1

2

≤cosθ≤1，由于0≤θ≤π，解得0≤θ≤

π

3

．
则有向量

a

与

b

夹角θ的取值范围为：[0，

π

3

]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和夹角公式及范围，考查正切及余弦函数的单调性和运用，考查对勾函数的单调性及运用：求值域，考查运算能力，属于中档题．