Question

2．如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x²+y²-4y-4=0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F₁PF₂是直角．
（3）过点A作直线l分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M、N，求|MN|的最大长度．

Answer 1

分析 （1）求出半圆的圆心和半径，求得圆与x轴的交点，即有a=2，令y=2，解得交点，代入双曲线方程，解得b，进而得到双曲线的方程；
（2）求出焦点坐标，∠F₁PF₂是直角，则设P（x，y），则有x²+y²=8，联立两半圆的方程及双曲线方程，解得交点，注意检验，即可得到所求的P的坐标．
（3）分类讨论，求出|MN|，即可得出结论．

解答 解：（1）上半个圆所在圆方程是x²+y²-4y-4=0，则圆心为（0，2），半径为2$\sqrt{2}$．
则下半个圆所在圆的圆心为（0，-2），半径为2$\sqrt{2}$．
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（-2，0），（2，0），即a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=±2$\sqrt{2}$．
即有交点为（±2$\sqrt{2}$，2）．
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
则$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，且a=2，解得，b=2．
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），
若∠F₁PF₂是直角，则设P（x，y），则有x²+y²=8，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得，x²=6，y²=2．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{{x}^{2}+（y±2）^{2}=8}\end{array}\right.$解得，y=±1，不满足题意，舍去．
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（$±\sqrt{6}，\sqrt{2}$），（$±\sqrt{6}，-\sqrt{2}$）．
（3）设M，N的横坐标分别为x_M，x_N．
①直线l的斜率不存在时，|MN|=8；
②直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+2），
代入x²+y²-4y-4=0，可得（k²+1）x²+（4k²-4k）x+4k²-8k-4=0，
∴-2x_M=$\frac{4{k}^{2}-8k-4}{{k}^{2}+1}$，
∴x_M=$\frac{-2{k}^{2}+4k+2}{{k}^{2}+1}$，
同理x_N=$\frac{-2{k}^{2}-4k+2}{{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x_M-x_N|=$\frac{|8k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜8，
∴|MN|的最大长度为8．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，考查圆与圆、双曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．