Question

设f（x）=x²+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a，b的值分别为

 

．

Answer 1

考点：集合关系中的参数取值问题,集合的相等

专题：规律型,函数的性质及应用

分析：根据已知中f（x）=x²+ax，我们分a=0时和a≠0时，对{{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）=x²+ax，
∴f（f（x））=f（x）²+af（x）=（x²+ax）²+a•（x²+ax）=x⁴+2ax³+（a²+a）x²+a²x
当a=0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅
当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={0，-a}．
若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，-a}，
则f（f（-a））=0且除0，-a外f（f（x））=0无实根，
即x²+ax+a=0无实根
即a²-4a＜0，即0＜a＜4
综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a＜4
故答案为：0≤a＜4，b=0．

点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中注意两个集合相等的定义，即当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅的等价条件为x²+ax+a=0无实根．