Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，过右焦点F₂的直线l交椭圆于M，N两点．
（1）若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-3$，求直线l的方程；
（2）若直线l的斜率存在，在线段OF₂上是否存在点P（a，0），使得$|\overrightarrow{PM}|=|\overrightarrow{PN}|$，若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，得（5k²+4）x²-10k²x+5k²-20=0，由此能求出直线l的方程．
（2）求出MN的中点Q$（\frac{{5{k^2}}}{{5{k^2}+4}}，\frac{-4k}{{5{k^2}+4}}）$，假设存在点P（a，0），使得$|\overrightarrow{PM}|=|\overrightarrow{PN}|$，则k_PQ•k_MN=-1，由此能求出存在点P且$a∈[0，\frac{1}{5}）$．

解答 解：（1）当直线l的斜率不存在时，
$M（1，\frac{{4\sqrt{5}}}{5}）$，$N（1，-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}）$，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线l的方程为y=k（x-1），①
又椭圆的方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}$=1，②
由①②可得（5k²+4）x²-10k²x+5k²-20=0，（*）
∴x₁+x₂=$\frac{{10{k^2}}}{{5{k^2}+4}}$，x₁×x₂=$\frac{{5{k^2}-20}}{{5{k^2}+4}}$，
∴y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=$\frac{{-16{k^2}}}{{5{k^2}+4}}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{-11{k^2}-20}}{{5{k^2}+4}}$=-3，解得k²=2，
∴k=±$\sqrt{2}$，即直线l的方程为y=$\sqrt{2}$（x-1）或y=-$\sqrt{2}$（x-1）．
（2）由（1）可知y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{-8k}{{5{k^2}+4}}$，
设MN的中点为$Q（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，即Q$（\frac{{5{k^2}}}{{5{k^2}+4}}，\frac{-4k}{{5{k^2}+4}}）$，
假设存在点P（a，0），使得|$\overrightarrow{PM}|=|\overrightarrow{PN}$|，则k_PQ•k_MN=-1，
解得a=$\frac{k^2}{{5{k^2}+4}}=\frac{1}{{5+\frac{4}{k^2}}}$，
当k=0时，M，N为椭圆长轴的两个端点，则点P与原点重合，
当k≠0时，$a∈（0，\frac{1}{5}）$，
综上所述，存在点P且$a∈[0，\frac{1}{5}）$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、向量等知识点的合理运用．