Question

已知函数f（x）=

ex

x

-a（

1

x

+lnx）（a为常数且a＞1，e为自然对数的底），试讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：求导数，分类讨论，利用导数的正负可得函数f（x）的单调性．

解答： 解：f′（x）=

(ex-a)(x-1)

x2

----------------（1分）
当a＞e时，列表

x	（0，1）	1	（1，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	+		_		+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

----------------（5分）
当1＜a＜e时，列表

x	（0，lna）	lna	（lna，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

----------------（11分）
当a=e时f′（x）=

(ex-a)(x-1)

x2

≥0，y=f（x）在（0，+∞）单调递增------------（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．