Question

如图，在直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右准线方程是x=4，左、右顶点分别为A、B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证：

OM

•

OP

为定值；
（3）在（2）的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由已知A（-2

2

，0），B（2

2

，0），M（2

2

，y_M），设P（x₁，y₁），直线MA的方程为y=

yM

4 2

x+

yM

2

，代入

x2

8

+

y2

4

=1，得（1+

ym2

16

）x²+

yM2

2 2

x+

yM2

2

-8=0，从而x₁=

-2 2 (yM2-16)

yM2+16

，y₁=

16yM

yM2+16

，由此求出

OM

•

OP

为定值8．
（3）依题意k_PB=

16yM yM2+16

-2 2 (yM2-16) yM2+16 -2 2

=-

2 2

yM

，由MQ⊥PB，得k_MQ=

yM

2 2

，从而MQ的方程为y=

yM

2 2

x，由此得直线MQ过定点O（0，0）．

解答： （1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右准线方程是x=4，
∴

e= c a = 2 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得a=2

2

，b=2，c=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）证明：∵椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1，
∴A（-2

2

，0），B（2

2

，0），
∵MB⊥AB，∴M（2

2

，y_M），设P（x₁，y₁），
直线MA的方程为y=

yM

4 2

x+

yM

2

，
代入

x2

8

+

y2

4

=1，得（1+

ym2

16

）x²+

yM2

2 2

x+

yM2

2

-8=0，
由-2

2

x1=

8(yM2-16)

yM2+16

，得x₁=

-2 2 (yM2-16)

yM2+16

，从而y₁=

16yM

yM2+16

，
∴

OM

•

OP

=（

-2 2 (yM2-16)

yM2+16

，

16yM

yM2+16

）•（2

2

，y_M）
=

-8ym2+128

yM2+16

+

16yM2

yM2+16

=8，
∴

OM

•

OP

为定值8．
（3）解：直线MQ过定点O（0，0），理由如下：
依题意k_PB=

16yM yM2+16

-2 2 (yM2-16) yM2+16 -2 2

=-

2 2

yM

，
由MQ⊥PB，得k_MQ=

yM

2 2

，
则MQ的方程为y-y_M=

yM

2 2

（x-2

2

），即y=

yM

2 2

x，
∴直线MQ过定点O（0，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查

OM

•

OP

为定值的证明，考查直线MQ是否过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．