Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若有两个极值点、，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）先对函数求导，求出切线方程的斜率，再求出该点的函数值，利用点斜式求解；（2）利用导函数的正负判断原函数的单调性，再分类讨论；（3）从函数在上有两个极值点，根据韦达定理得到与的关系，分离出参数，从而得到关于的新函数，再求最值.

解：（1）当时，，，，，

所以，函数在处的切线方程为，即；

（2）函数定义域为，，

二次函数的判别式.

①若时，即当时，对任意的，，

此时，函数单调递增区间为，无减区间；

②若时，即当时，

由，得或.

当，或时，，

当时，，

此时，函数单调递增区间为，，单调递减区间为；

（3）由（2）知，，且，

不等式恒成立等价于恒成立，

所以，

令，则，

所以在上单调递减，所以，所以.

因此，实数的取值范围是.