Question

10．已知函数f（x）=asinx•cosx-$\sqrt{3}$acos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a+b（a＞0）．
（Ⅰ）写出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）设x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最小值是-$\sqrt{3}$，最大值是2，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值和最大值，再根据f（x）的最小值是-$\sqrt{3}$，最大值是2，求得实数a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=asinx•cosx-$\sqrt{3}$acos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a+b=$\frac{a}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$a•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a+b=asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b （a＞0）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+b=-$\sqrt{3}$，
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值是 a+b=2，
∴a=2，b=0．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．