Question

11．已知函数F（x）=lnx，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+a，a为常数，直线l与函数F（x）和f（x）的图象都相切，且l与函数F（x）的图象的切点的横坐标等于1．
（Ⅰ）求直线l的方程和a的值；
（Ⅱ）求证：关于x的不等式F（1+x²）≤ln2+f（x）的解集为（-∞，+∞）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数F（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切建立等量关系，即可求出a的值；
（Ⅱ）设H（x）=F（1+x²）-f（x）-ln2=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$-ln2，求出导数，首先考虑x＞0时，求得单调区间、极值和最值，再由函数的奇偶性可得最大值为0，即可得证．

解答 （Ⅰ）解：F′（x）=$\frac{1}{x}$，F′（1）=1，故直线l的斜率为1，
切点为（1，f（1）），即（1，0），
∴直线l：y=x-1 ①
又∵f′（x）=x，直线l：y=x-1与函数g（x）的图象都相切，
∴令f′（x）=1，解得x=1，即切点为（1，$\frac{1}{2}$+a），
∴直线l：y-（$\frac{1}{2}$+a）=x-1，即y=x-$\frac{1}{2}$+a②
比较①和②的系数得-$\frac{1}{2}$+a=-1，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）证明：设H（x）=F（1+x²）-f（x）-ln2=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$-ln2，
H′（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$-x=$\frac{x-{x}^{3}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{x（1-x）（1+x）}{1+{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，H′（x）＞0，H（x）递增；当x＞1时，H′（x）＜0，H（x）递减．
即有x＞0时，H（x）有最大值，且为H（1）=0；
由于H（-x）=H（x），则H（x）为偶函数，
则H（-1）=H（1）=0，
即有x＜0时，H（x）的最大值为H（-1）=0．
则H（x）≤0．即x∈R时，F（1+x²）-f（x）-ln2≤0．
即关于x的不等式F（1+x²）≤ln2+f（x）的解集为（-∞，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了不等式恒成立转化为求函数的最值的思想，运用导数求得单调区间、极值和最值以及函数的奇偶性是解题的关键，属于中档题．