Question

已知曲线C的极坐标方程为：ρ²=2ρcosθ-mρsinθ+4上的两点M、N关于直线

x=t- 1 2 y=1-2t

（t为参数）对称，则m=

 

；直线l：tx+y-t+1=0（t∈R）与曲线C相交于A、B两点，则|AB|的最小值是

 

．（注：极坐标系的极轴OX与直角坐标系的X轴的非负半轴重合且单位长度相同）

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：化圆的极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心和半径，化直线的参数方程为普通方程，把圆心坐标代入直线方程求得m的值；求出圆的方程，利用直线l：tx+y-t+1=0过定点得到圆心到直线的距离的最大值，由勾股定理求得|AB|的最小值．

解答： 解：由ρ²=2ρcosθ-mρsinθ+4，得
x²+y²=2x-my+4，即(x-1)2+(y+

m

2

)2=5+

m2

4

．
由

x=t- 1 2 y=1-2t

，得2x+y=0．
∵圆关于直线对称，
∴2×1-

m

2

=0，解得m=4．
∴圆的方程为：（x-1）²+（y+2）²=9．
直线l：tx+y-t+1=0恒过定点（1，-1），
圆心（1，-2）到直线l：tx+y-t+1=0的最大值为1．
∴|AB|的最小值是2

9-1

=4

2

．
故答案为：4，4

2

．

点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．