Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个“承托函数”．现有如下命题：
①g（x）=x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；
②若g（x）=kx+1为函数f（x）=

ln(-x)

x

的一个承托函数，则实数k的取值范围是[

1

2

，+∞）；
③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
④对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个．
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：常规题型,简易逻辑

分析：理解定义，逐一对命题进行判定．

解答： 解：①f（x）-g（x）=2^x-x，则f′（x）-g′（x）=ln2•2^x-1，
则当x=log2

1

ln2

时，f（x）-g（x）取得最小值为

1

ln2

-log2

1

ln2

，
由

1

2

＜ln2＜1得，

1

ln2

＞1，log2

1

ln2

＜1；则f（x）-g（x）＞0，
则g（x）=x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；
②由函数f（x）=

ln(-x)

x

得定义域为（-∞，0）则没有承托函数，不成立．
③令定义域和值域都是R的函数f（x）=x，g（x）=x+3，则g（x）为函数f（x）的一个“承托函数”．
④对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，若存在，若g（x）是函数f（x）的一个“承托函数”；则g（x）-k（k∈N^*）也是函数f（x）的一个“承托函数”；故有无数个．
故选：①④．

点评：对命题一一判定，理解承托函数的定义．属于中档题．