Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+$\frac{1}{2}$b=c．
（Ⅰ） 求角A；
（Ⅱ） 若b，a，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=$\frac{1}{2}$sinB，由sinB≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）及余弦定理，可得a²=b²+c²-bc，由b、a、c成等比数列得a²=bc，可得b²+c²-bc=bc，从而解得b=c，得证．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 由正弦定理，得sinAcosB+$\frac{1}{2}$sinB=sinC．…（2分）
而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…（4分）
故cosAsinB=$\frac{1}{2}$sinB．在△ABC中，sinB≠0，故cosA=$\frac{1}{2}$…（5分）
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）A=$\frac{π}{3}$，在△ABC中，由余弦定理，得
a²=b²+c²-bc，…（8分）
由b、a、c成等比数列得a²=bc，所以b²+c²-bc=bc
即（b-c）²=0，从而b=c，…（10分）
故△ABC是等边三角形．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等比数列的性质等知识的应用，属于基本知识的考查．