Question

6．已知函数$f（x）={sin^2}ωx+2\sqrt{3}sinωx•cosωx-{cos^2}ωx+λ（{λ∈R}）$的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象过点$（{\frac{π}{6}，0}）$，求函数f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ，由对称性可得ω，可得最小正周期；
（2）由图象过点$（{\frac{π}{6}，0}）$可得λ=-1，由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$结合三角函数的值域可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\sqrt{3}$•2sinωxcosωx-（cos²ωx-sin²ωx）+λ
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ
由函数图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称可得2ω•$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得ω=$\frac{3}{2}$k+1，结合ω∈（0，2）可得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵y=f（x）的图象过点$（{\frac{π}{6}，0}）$，
∴2sin（2•$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+λ=0，解得λ=-1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1∈[-2，1]，
故函数f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域为[-2，1]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．