Question

已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x²上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线于点D.
（1）求直线的方程.
（2）设的面积为S₁，求及S₁的值.

（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S₂，求证S₁:S₂的值为与a无关的常数.

Answer 1

（1）的方程为y-2=-4(x+1)即y="-4x-2 " (2) = 2²+4+2=2（+1）²
∴S₁=   (3) S₁:S₂的值为与无关的常数，这常数是

（1）由当x=1时，y＇="-4                  " ……………2分
  ∴的方程为y-2=-4(x+1)即y="-4x-2   "                  ……………………3分
(2)得B点坐标为（）                    ……………………4分
由得D点坐标（,-4-2）            ……………………5分
点A 到直线BD的距离为                   ………………………………6分
= 2²+4+2=2（+1）²
∴S₁=                                     ………………………………7分
(3)当>-1时，S₁=（+1）³，               ………………………………………8分
                                     
…………………………………………9分
…………………………………………10分
∴S₁:S₂=         ………………………………………………………………………11分
当<-1时，S₁= -（+1）³          ……………………………………………………12
   ……………………………………………13分
∴S₁:S₂=
综上可知S₁:S₂的值为与无关的常数，这常数是      …………………………………14分