Question

选作题（从以下两题中任选一题作答）
（1）求函数y=sin（2x+25°）+

3

cos（2x+85°）的周期、值域．
（2）求函数y=sinx+cosx-sin2x值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用两角和的正弦与余弦可求得y=sin（2x+25°）+

3

cos（2x+85°）=cos（2x+55°），从而可求得其周期与值域；
（2）令t=sinx+cosx，t∈[-

2

，

2

]，易知sin2x=1-t²，于是y=-t²+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

，t∈[-

2

，

2

]，从而可求其值域．

解答： 解：（1）∵2x+85°-（2x+25°）=60°，
∴cos（2x+85°）=cos[（2x+25°）+60°]
=cos（2x+25°）cos60°-sin（2x+25°）sin60°
=

1

2

cos（2x+25°）-

3

2

sin（2x+25°），
∴

3

cos（2x+85°）=

3

2

cos（2x+25°）-

3

2

sin（2x+25°），
∴y=sin（2x+25°）+

3

cos（2x+85°）
=-

1

2

sin（2x+25°）+

3

2

cos（2x+25°）
=cos（2x+55°），
∴周期T=

2π

2

=π，值域为[-1，1]；
（2）令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），t∈[-

2

，

2

]．
则t²=1+sin2x，
∴sin2x=1-t²，
∴原式y=-t²+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

，
∵t∈[-

2

，

2

]，
当t=

1

2

时，y_max=

5

4

；
当t=-

2

时，y_min=-1-

2

，
∴函数y=sinx+cosx-sin2x的值域为[-1-

2

，

5

4

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查两角和的正弦与余弦，考查余弦函数的周期与值域，考查换元思想与转化思想的运用，属于中档题．