Question

7．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，6），如表所示：

试销单价x（元）	4	5	6	7	8	9
产品销量y（件）	q	84	83	80	75	68

已知$\overline y=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}$=80．
（Ⅰ）求出q的值；
（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；可供选择的数据：$\sum_{i=1}^6{{x_i}{y_i}}=3050$，$\sum_{i=1}^6{{x_i}^2}=271$
（Ⅲ）用$\widehat{y_i}$表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与x_i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x_i，y_i）对应的残差的绝对值$|\widehat{y_i}-{y_i}|≤1$时，则将销售数据（x_i，y_i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（参考公式：线性回归方程中$\widehatb$，$\widehata$的最小二乘估计分别为$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据y的平均数求出q的值即可；
（Ⅱ）分别求出回归方程的系数的值，求出回归方程即可；
（Ⅲ）根据回归方程分别计算出共有3个“好数据”，求出满足条件的概率，列出分布列，求出均值即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overline y=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}=80$，可得：
$\frac{1}{6}$（q+84+83+80+75+68）=80，
求得q=90．…（2分）
（Ⅱ）$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^6{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^6{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}=\frac{3050-6×6.5×80}{271-253.5}=-\frac{70}{17.5}=-4$，…（4分）
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=80+4×6.5=106$，
所以所求的线性回归方程为$\widehaty=-4x+106$．…（6分）
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程$\widehaty=-4x+106$，
可得，当x₁=4时，$\widehat{y_1}=90$；当x₂=5时，$\widehat{y_2}=86$；
当x₃=6时，$\widehat{y_3}=82$；当x₄=7时，$\widehat{y_4}=78$；
当x₅=8时，$\widehat{y_5}=74$；当x₆=9时，$\widehat{y_6}=70$．
与销售数据对比可知满足$|\widehat{y_i}-{y_i}|≤1$（i=1，2，…，6）的共有3个“好数据”：
（4，90）、（6，83）、（8，75）．               …（8分）
于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20}$；$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_3^2}{C_6^3}=\frac{9}{20}$；
$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_3^1}{C_6^3}=\frac{9}{20}$；$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

于是$E（ξ）=0×\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{1}{20}=\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了求平均数和回归方程问题，考查分布列以及均值问题，是一道中档题．