Question

3．已知$α∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，$β∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，sinα=7m-3，sinβ=1-m，若α+β＜2π，则实数m的取值范围为$（\frac{1}{3}，\frac{4}{7}]$．

Answer 1

分析 依题意，可知α≠$\frac{3π}{2}$且β≠$\frac{3π}{2}$，由-1＜7m-3≤1，-1＜1-m≤1，可解得：$\frac{2}{7}$＜m≤$\frac{4}{7}$①；进一步可分析出sinα＞sin（2π-β）=-sinβ，即7m-3＞m-1，解得：m＞$\frac{1}{3}$②；从而可得答案．

解答 解：∵$α∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，$β∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，且α+β＜2π，
∴α≠$\frac{3π}{2}$且β≠$\frac{3π}{2}$，
又sinα=7m-3，sinβ=1-m，
∴-1＜7m-3≤1，-1＜1-m≤1，
解得：$\frac{2}{7}$＜m≤$\frac{4}{7}$①；
由α+β＜2π得：α＜2π-β，
又$β∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，故2π-β∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，而$α∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，y=sinx在区间$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$上单调递减，
∴sinα＞sin（2π-β）=-sinβ，即7m-3＞m-1，解得：m＞$\frac{1}{3}$②；
由①②得实数m的取值范围为：$（\frac{1}{3}，\frac{4}{7}]$．
故答案为：$（{\frac{1}{3}，\frac{4}{7}}]$．

点评 本题考查三角函数的最值，分析得到sinα＞sin（2π-β）是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．