Question

6．已知等差数列{a_n}，a₂=3，a₃+a₅=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列等差中项，a₃+a₅=14，即可求得a₄=7，a₂=3，即可求得d=2和a₁=1，即可求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求得数列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的通项公式，采用裂项法即可求得{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}前n项和S_n．

解答 解（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d．
由a₃+a₅=14，得a₄=7．…（2分）
∵a₄=a₂+2d，即3+2d=7，
∴d=2…（4分）
∵a₂=a₁+d，
∴a₁=3-2=1…（5分）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1…（6分）
（Ⅱ）$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，…（9分）
${S_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$，
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$，…（11分）
=$\frac{n}{2n+1}$．…（12分）

点评 本题考查了等差数列的通项公式及采用“裂项法”求数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．