Question

点P（a，b）在第一象限内，过点P作一直线l，分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，那么PA²+PB²取最小值时，直线l的斜率为

 

．

Answer 1

考点：直线的斜率

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入PA²+PB²的解析式，使用基本不等式，求出最小值，即可求得直线l的斜率．

解答： 解：设直线l：y-b=k（x-a），分别令y=0，x=0，得A（a-

b

k

，0），B（0，b-ak）．
则PA²+PB²=

b2

k2

+b²+a²+a²k²=b²（1+

1

k2

）+a²（k²+1）=2a²b²+a²b²（k2+

1

k2

）≥3a²b²，
当且仅当k²=1，即k=±1时，PA²+PB²取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查直线方程的几种形式的应用，利用基本不等式求式子的最值，一定不要忘记检验等号成立的条件是否具备，属于基本知识的考查．