Question

已知下列命题：
①设m为直线，α，β为平面，且m⊥β，则“m∥α”是“α⊥β”的充要条件；
②（x³+

1

x

）⁵的展开式中含x³的项的系数为60；
③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，则P（-2＜ξ＜0）=

1

2

-p；
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是（-∞，2）；
⑤已知奇函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），且0＜x＜

π

2

时f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-sinx在[-2π，2π]上有5个零点．
其中真命题的序号是

 

（写出全部真命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：①由m⊥β，则“m∥α”可得“α⊥β”，反过来，“α⊥β”可得“m∥α”或“m?α”，；
②利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为3，写出展开式中x³的系数，得到结果；
③设随机变量ξ～N（0，1），曲线关于x=0对称，若P（ξ≥2）=p，则P（-2＜ξ＜0）=

1

2

-p；
④|x+3|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-3和2对应点的距离之和，它的最小值等于5，由|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，可求m的取值范围；
⑤奇函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），可得函数f（x）图象关于x=

π

2

对称，由0＜x＜

π

2

时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-sinx，因为x取不到0，

π

2

，所以共有0个零点．

解答： 解：①设m为直线，α，β为平面，且m⊥β，则“m∥α”可得“α⊥β”，反过来，“α⊥β”可得“m∥α”或“m?α”，故不正确；
②（x³+

1

x

）⁵的展开式的通项为T_r+1=C₅^rx^15-4r，∴含x³的项的系数为C₅³=10，故不正确；
③设随机变量ξ～N（0，1），曲线关于x=0对称，若P（ξ≥2）=p，则P（-2＜ξ＜0）=

1

2

-p，正确；
④|x+3|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-3和2对应点的距离之和，它的最小值等于5，由|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，知2m+1≤5，则m的取值范围是（-∞，2]，不正确；
⑤奇函数f（x）满足f（x+π）=-f（x），可得函数f（x）图象关于x=

π

2

对称，周期为2π，由0＜x＜

π

2

时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-sinx，因为x取不到0，

π

2

，所以共有0个零点，不正确．
故答案为：③．

点评：本题考查命题的真假判断，考查函数的性质，考查不等式知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．